Question

4．函數(shù)f（x）=|2x-x²|+lnx的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]和（2，+∞）．

Answer 1

分析 通過討論x的范圍，結(jié)合求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：當2x-x²≥0即0＜x≤2時：
f（x）=2x-x²+lnx，
則f′（x）=2-2x+$\frac{1}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}+2x+1}{x}$，
令f′（x）≥0，解得：0＜x≤$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]遞增；
當2x-x²＜0即x＞2時：
f（x）=x²-2x+lnx，
則f′（x）=2x-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+1}{x}$=$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$＞0，
∴f（x）在（2，+∞）遞增；
故答案為：（0，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]和（2，+∞）．

點評 本題考察了求函數(shù)的單調(diào)性問題，考察分類討論思想，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．