Question

17．解答題
（1）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$）和點(diǎn)（-1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），且與橢圓9x²+4y²=36有共同焦點(diǎn)的橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程可得m，n，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得已知橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)出所求橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），即有a²-b²=5，$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=1，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，
代入點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$）和點(diǎn)（-1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
可得4m+2n=1，m+$\frac{7}{2}$n=1，
解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{4}$，
即有橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）橢圓9x²+4y²=36即為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
焦點(diǎn)為（0，±$\sqrt{5}$），
可設(shè)所求橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得a²-b²=5，$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=1，
解得a²=15，b²=10，
則所求橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{15}$+$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．