Question

7．設(shè)函數(shù) f （x）=（x+a）ⁿ，其中$n=6{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx，\frac{f′（0）}{f（0）}=-3$，則 f （x）的展開(kāi)式中的x⁴系數(shù)為60．

Answer 1

分析 求定積分得到n值，再由$\frac{f′（0）}{f（0）}=-3$求得a，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為4求得r，則答案可求．

解答 解：由$n=6{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx，\frac{f′（0）}{f（0）}=-3$，得
$n=6sinx{|}_{0}^{\frac{π}{2}}=6$，$\frac{6{a}^{5}}{{a}^{6}}=-3$，a=-2．
∴f （x）=（x-2）⁶，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-2）^{r}$，令6-r=4，得r=2．
∴f （x）的展開(kāi)式中的x⁴系數(shù)為$（-2）^{2}•{C}_{6}^{2}=60$．
故答案為：60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分，考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，考查了二項(xiàng)式的展開(kāi)式，是基礎(chǔ)題．