Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈[

π

4

，

π

2

），將角α的終邊繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

3

，交單位圓與點B，過B作BC⊥y軸于點C．
（1）若點A的縱坐標為

3

2

，求點B的橫坐標；
（2）求△AOC的面積S的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（1）先分別表示出A，B的坐標，求得sinα的值，進而求得α，則B的橫坐標可求．
（2）分別表示出）|OA|，|OC|和∠AOC，利用三角形面積公式表示出S，利用兩角和公式化簡，根據(jù)α的范圍確定S的最大值．

解答： 解：（1）由定義得，A（cosα，sinα），B（cos（α+

π

3

），sin（α+

π

3

）），
依題意知sinα=

3

2

，α∈[

π

4

，

π

2

]，所以α=

π

3

，
所以點B的橫坐標為cos（α+

π

3

）=cos

2π

3

=-

1

2

，
（2）∵|OA|=1，|OC|=sin（α+

π

3

），∠AOC=

π

2

-α，
∴S=

1

2

|OA|•|OC|sin∠AOC
=

1

2

sin（α+

π

3

）sin（

π

2

-α）
=

1

2

（

1

2

sinα+

3

2

cosα）cosα
=

1

2

（

1

2

sinαcosα+

3

2

cos²α）
=

1

4

（

1

2

sin2α+

3

2

cos2α）+

3

8

=

1

4

sin（2α+

π

3

）+

3

8

，
∵α∈[

π

4

，

π

2

]，
∴（2α+

π

3

）∈[

5π

6

，

4π

3

），
∴當2α+

π

3

）=

5π

6

，即α=

π

4

時，sin（2α+

π

3

）取最大值

1

2

，
∴S的最大值為

1+ 3

8

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的定義，最值，兩角和與差的三角公式，二倍角公式三角函數(shù)的恒等變換等．考查了運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用．