Question

3．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（9，x），$\overrightarrow{c}$=（4，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$
（1）求$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$
（2）若$\overrightarrow{m}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$，求向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$的夾角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$求出x的值，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$求出y的值，從而得出$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$；
（2）計算$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$，利用平面向量夾角的公式求出cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞，即得夾角的大小．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$得3x-4×9=0，解得x=12；
由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$得9×4+xy=0，
解得y=-$\frac{36}{x}$=-$\frac{36}{12}$=-3；
所以$\overrightarrow$=（9，12），$\overrightarrow{c}$=（4，-3）；
（2）$\overrightarrow{m}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-3，-4），
$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=（7，1）；
所以$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-3×7-4×1=-25，
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（-3）}^{2}{+（-4）}^{2}}$=5，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{7}^{2}{+1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-25}{5×5\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)量積表示兩個向量的夾角，平行向量與共線向量，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系，其中根據(jù)“兩個向量平行，坐標交叉相乘差為零，兩個向量若垂直，對應相乘和為零”構造方程是解答本題的關鍵．