Question

9．【理】已知拋物線的方程為x²=2py（p＞0），過(guò)點(diǎn)A（0，-1）作直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），連接BP，BQ，設(shè)BQ，BP與x軸分別相交于M，N兩點(diǎn)．如果QB的斜率與PB的斜率的乘積為-3，則∠MBN的大小等于（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線PQ方程與拋物線方程消掉y得x的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式可求得k_BP+k_BQ=0，再由已知k_BP•k_BQ=-3，可解k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，由此可知∠BNM與∠BMN的大小，由三角形內(nèi)角和定理可得∠MBN．

解答 解：設(shè)直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入拋物線方程，得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，k_BP=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，k_BQ=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
k_BP+k_BQ=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2k•2p-2•2pk}{2p}$=0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
聯(lián)立①②解得k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，
所以∠BNM=$\frac{π}{3}$，∠BMN=$\frac{π}{3}$，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=$\frac{π}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線、拋物線方程及其位置關(guān)系等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)直線BP、BQ斜率互為相反數(shù)．