Question

3．已知α＞0，β＞0，且$α+2β=\frac{π}{2}$．
（1）若4sin²α+1=2cos²β，求sin（α-β）的值；
（2）若$β≥\frac{π}{12}$，求函數(shù)y=tanα+tanβ的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知中α＞0，β＞0，且$α+2β=\frac{π}{2}$．可得sinα=sin（$\frac{π}{2}-2β$）=cos2β=2cos²β-1，若4sin²α+1=2cos²β，則sinα=4sin²α，進(jìn)而求出α，β的兩弦值，代入兩角差的正弦公式，可得sin（α-β）的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式，萬能公式，可將函數(shù)y=tanα+tanβ化為y=$\frac{1}{sin2β}$，結(jié)合$β≥\frac{π}{12}$及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）∵α＞0，β＞0，且$α+2β=\frac{π}{2}$．
∴sinα=sin（$\frac{π}{2}-2β$）=cos2β=2cos²β-1，
若4sin²α+1=2cos²β，則4sin²α=2cos²β-1，
即sinα=4sin²α，
解得：sinα=0（舍去）或sinα=$\frac{1}{4}$，
則cosα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
進(jìn)而2cos²β-1=$\frac{1}{4}$，則cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，sinβ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-$\frac{\sqrt{10}}{8}$
（2）若$β≥\frac{π}{12}$，則2β≥$\frac{π}{6}$且2β＜$\frac{π}{2}$，
則sin2β∈[$\frac{1}{2}$，1）
函數(shù)y=tanα+tanβ=$\frac{1}{tan2β}$+tanβ=$\frac{1-{tan}^{2}β}{2tanβ}$+tanβ=$\frac{1+{tan}^{2}β}{2tanβ}$=$\frac{1}{sin2β}$∈（1，2]，
故函數(shù)y=tanα+tanβ的值域?yàn)椋?，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩角差的正弦公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，萬能公式，是三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．