Question

15．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=-2，a_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$，n∈N^*，則S_n=$\frac{2}{2n-3}$．

Answer 1

分析 由a_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$化簡可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1+{S}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+1，從而可得{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-$\frac{1}{2}$為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而求得．

解答 解：∵a_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$，
∴S_n+1-S_n=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$，
∴S_n+1=-$\frac{{S}_{n}^{2}}{1+{S}_{n}}$+S_n=$\frac{{S}_{n}}{1+{S}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1+{S}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+1，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-$\frac{1}{2}$為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$+（n-1）•1=$\frac{2n-3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2}{2n-3}$，
故答案為：$\frac{2}{2n-3}$．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題．