Question

【題目】已知，，當(dāng)，分別在軸，軸上滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡記為.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）k＝±．

【解析】

（1）設(shè)M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，列x,y關(guān)于m,n的表達(dá)式，利用m,n的關(guān)系式，即可求解E的方程；（2）設(shè)MN：y＝kx＋m，與橢圓聯(lián)立求得MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用MN和PQ的中點(diǎn)重合，列方程求解即可

（1）設(shè)M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，

由|MN|＝1得m2＋n2＝1．

由＝3得(x，y－m)＝3(n，－m)，

從而x＝3n，y－m＝－3m，

所以n＝，m＝－，

所以曲線E的方程為．

（2）設(shè)MN：y＝kx＋m，所以n＝－．①

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

將MN代入到E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－36＝0，

所以x1＋x2＝．

因?yàn)?/span>|PN|＝|MQ|，所以MN和PQ的中點(diǎn)重合，

所以＝，②

聯(lián)立①②可得k2＝，故k＝±．