Question

13．設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA=AD，MA⊥平面ABCD，如果△AMD面積為2，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑．

Answer 1

分析 設(shè)球O是與平面MAB、平面AC、平面MDC都相切的球．然后找出球心所在的三角形，由面積求得AD=EF=2，求出內(nèi)切圓半徑即可求出最大值．

解答 解：由MA⊥平面ABCD，MA=AD，△AMD面積為2，
即有MA⊥AD，$\frac{1}{2}$AM•AD=2，解得AD=2，
CD⊥AD，MA⊥CD，則有CD⊥平面MAD，即有CD⊥MD，
記E是AB的中點(diǎn)，從而ME=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$．
EF=2，MF=$\sqrt{4+4+1}$=3，
設(shè)球O是與平面MAB、平面AC、平面MDC都相切的球．
不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是△MEF的內(nèi)心．
設(shè)球O的半徑為r，則r=$\frac{2{S}_{△MEF}}{EF+EM+MF}$，
r=$\frac{2×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}}{2+3+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
則能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時(shí)一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長(zhǎng)間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系，屬于中檔題．