Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+alnx（{a≠0，a∈R}）$
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在x=2處的切線斜率及函數(shù)f（x）的單減區(qū)間；
（2）若對于任意x∈（0，e]，都有f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)f（x）在x=2處的切線斜率，利用導(dǎo)函數(shù)小于0，求出單調(diào)減區(qū)間．
（2）通過導(dǎo)函數(shù)為0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對任意x∈（0，e]都有f（x）＞0等價于f（x）在（0，e]上的最小值＞0，1當(dāng)a＜0時，$0＜a≤\frac{1}{e}$，分別求解函數(shù)的最小值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）$f（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x}=\frac{ax-1}{x^2}，（{x＞0}）$
當(dāng)a=1時，${f^'}（x）=\frac{x-1}{x^2}$（1分）$k={f^'}（2）=\frac{1}{4}$（2分）
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1
所以，f（x）的單減區(qū)間為：（0，1）（4分）
（2）${f^'}（x）=\frac{ax-1}{x^2}，（{x＞0，a≠0}）$
令f′（x）=0，求得：$x=\frac{1}{a}$（5分）
若對任意x∈（0，e]都有f（x）＞0等價于f（x）在（0，e]上的最小值＞0（6分）
①當(dāng)$x=（{\frac{1}{a}，e}）＜0$，即a＜0時，f′（x）＜0在x∈（0，e]上恒成立，
∴f（x）在（0，e]單調(diào)遞減，∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{1}{e}+a$，，只需$\frac{1}{e}+a＞0$，又a＜0
∴$-\frac{1}{e}＜a＜0$（8分）
②當(dāng)$x=\frac{1}{a}＞0$，即a＞0時，
（i）若$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$，則f′（x）≤0在x∈（0，e]上恒成立，
∴f（x）在（0，e]單調(diào)遞減，∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{1}{e}+a＞0$，∴$0＜a≤\frac{1}{e}$（10分）
（ii）若$\frac{1}{a}＜e$，及$a＞\frac{1}{e}$

x	$（{0，\frac{1}{a}}）$	$\frac{1}{a}$	$（{\frac{1}{a}，e}]$
f（x）	-	0	+
f′（x）	單減	極小值	單增

∴$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{a}}）=a+aln\frac{1}{a}=a-alna＞0$，∴$\frac{1}{e}＜a＜e$（12分）
綜上：a的取值范圍為：$（{-\frac{1}{e}，0}）∪（{0，e}）$（13分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及曲線的斜率，函數(shù)的最小值，考查分析問題解決問題的能力．