Question

15．已知點F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，點E是該雙曲線的左頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若∠AEB是鈍角，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． $（1+\sqrt{2}，+∞）$
• B． $（1，1+\sqrt{2}）$
• C． （2，+∞）
• D． $（2，1+\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 利用雙曲線的對稱性及∠AEB是鈍角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到關(guān)于a，b，c的不等式，求出離心率的范圍．

解答 解：∵雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線AB垂直x軸
∴∠AEF=∠BEF
∵∠AEB是鈍角，
∴AF＞EF
∵F為右焦點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，
∴AF=$\frac{^{2}}{a}$，
∵EF=a+c
∴$\frac{^{2}}{a}$＞a+c，即c²-ac-2a²＞0
解得$\frac{c}{a}$＞2或$\frac{c}{a}$＜-1
雙曲線的離心率的范圍是（2，+∞）
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率問題就是研究三參數(shù)a，b，c的關(guān)系．