Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，﹣2）處的切線方程；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，分析函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)y=g（x）的圖象上存在一點(diǎn)P（x0 ， y0），使得以P為切點(diǎn)的切線m將圖象分割為c1 ， c2兩部分，且c1 ， c2分別完全位于切線m的兩側(cè)（除了P點(diǎn)外），則稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=g（x）的“切割點(diǎn)“．問(wèn)：函數(shù)f（x）是否存在滿足上述條件的切割點(diǎn)．

Answer 1

【答案】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx﹣x2﹣x
的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣2x﹣1，
則函數(shù)f（x）在（1，﹣2）處的切線斜率為1﹣2﹣1=﹣2，
即有函數(shù)f（x）在（1，﹣2）處的切線方程為y+2=﹣2（x﹣1），
即為2x+y=0；
（2）函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當(dāng)a＜0時(shí)，令h（x）=﹣2ax2﹣x+1，
當(dāng)△≤0，即1+8a≤0，a≤﹣時(shí)，h（x）≥0恒成立，即有f（x）遞增；
當(dāng)△＞0，即1+8a＞0，a＞﹣時(shí)，由h（x）=0可得x=＞0，
當(dāng)x＞或0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)a≤﹣時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，），（，+∞），
減區(qū)間為（，）．
（3）函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），f（1）為最大值，且為﹣1＜0，
即f（x）＜0恒成立．則不存在切割點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=0解得x=（負(fù)的舍去），
當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（）取得最大，且為負(fù)值，則不存在切割點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，由（2）得當(dāng)a≤﹣時(shí)，f（x）在x＞0時(shí)遞增，無(wú)最值，則存在切割點(diǎn)；
當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，由于f（x）的增區(qū)間為（0，），（，+∞），
減區(qū)間為（，），無(wú)最值，則存在切割點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)a≥0時(shí)，不存在切割點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，存在切割點(diǎn)．
【解析】（1）求出a=1的函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a=0，a＜0，運(yùn)用判別式結(jié)合二次方程的求根公式，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間，注意定義域；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a=0，a＞0，由導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到最大值，即可說(shuō)明不存在切割點(diǎn)；a＜0，由（2）可得單調(diào)區(qū)間，說(shuō)明f（x）無(wú)最值，則存在切割點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．