Question

14．計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量xOy（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和（單位：億立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．
（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；
（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系；

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)	1	2	3

若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，分別求出安裝1臺、2臺、3臺發(fā)電機(jī)后，水電站所獲年總利潤的均值，最后確定安裝多少臺發(fā)電機(jī)最好？欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

Answer 1

分析 （1）先求出年入流量X的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布，求出未來4年中，至少有1年的年入流量超過120的概率；
（2）分三種情況進(jìn)行討論，分別求出一臺，兩臺，三臺的數(shù)學(xué)期望，比較即可得到．

解答 解：（1）依題意，P₁=P（40＜X＜80）=$\frac{10}{50}$=0.2，${P_2}=P（80≤X≤120）=\frac{35}{50}=0.7$，${P_3}=P（X＞120）=\frac{5}{50}=0.1$，
由二項(xiàng)分布，在未來4年中至多有1年入流量找過120的概率為：P=C₄⁰（1-P₃）⁴+C₄¹（1-P₃）³P₃=0.9477．…（4分）
（2）記水電站年總利潤為Y（單位：萬元）
①安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形．
由于水庫年入流量總大于40，所以一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，
對應(yīng)的年利潤Y=5000，E（Y）=5000×1=5000．…．（6分）
②安裝2臺發(fā)電機(jī)．
依題意，當(dāng) 40＜X＜80時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000-800=4200，
因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=P₁=$\frac{10}{50}$=0.2，
當(dāng)X≥80時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P₂+P₃=0.8，
由此得Y的分布列如下

Y	4200	10000
P	0.2	0.8

所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．
③安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形，
依題意，當(dāng) 40＜X＜80時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000-1600=3400，
因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2，
當(dāng)80≤X≤120時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×2-800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p₂=0.7，
當(dāng)X＞120時(shí)，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×3=15000，因此P（Y=15000）=P（X＞120）=P₃=0.1，…．（10分）

Y	3400	9200	15000
P	0.2	0.7	0.1

由此得Y的分布列如下：EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺．…．（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了數(shù)學(xué)期望和二項(xiàng)分布，再求最大利潤時(shí)，需要分類討論，屬于中檔題．