Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=axlnx+$\frac{e}$（其中e為自然相對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1+$\frac{3}{e}$．
（1）求a，b：
（2）證明：$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b的值；
（2）$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2等價(jià)為xlnx+$\frac{3}{e}$＞$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0），分別求得f（x）的最小值和g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0）的最大值，比較即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=axlnx+$\frac{e}$為f′（x）=a（1+lnx），
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1+$\frac{3}{e}$．可得
f（1）=$\frac{e}$=$\frac{3}{e}$，f′（1）=a=1，
解得a=1，b=3：
（2）證明：$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2等價(jià)為xlnx+$\frac{3}{e}$＞$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0），
由f′（x）=1+lnx，可得x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
即有x=$\frac{1}{e}$處取得最小值，且為$\frac{2}{e}$，即f（x）≥$\frac{2}{e}$；
由g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$，
可得x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞增，
即有x=1處取得最大值，且為$\frac{2}{e}$，即g（x）≤$\frac{2}{e}$．
由于f（x），g（x）的最值等號(hào)不同時(shí)取得，
故$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．