Question

16．如圖，AB是圓O的直徑，AC是弦，直線EF和圓O相切于點C．AD⊥EF，垂足為D，直線EF交BA的延長線于點F．
（Ⅰ）求證：∠BAC=∠DAC；
（Ⅱ）若OB=2，AD=1，求證：$\frac{BC}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC，證明∠ACD=∠B，即可證明∠BAC=∠DAC；
（Ⅱ）若OB=2，AD=1，證明AC=2AD，因為AD⊥CE，所以∠ACD=30°．故BC=CF，因為CF與圓O相切，由切割線定理得CF²=AF•BF，即可證明：$\frac{BC}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$．

解答 證明：（Ⅰ）連接BC，
因為AB是圓O的直徑，
所以∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，
因為AD⊥CE，所以∠ACD=∠DAC=90°，
因為AC是弦，且直線CE和圓O切于點C，
所以∠ACD=∠B，
所以∠DAC=∠BAC．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，所以$\frac{AC}{BA}$=$\frac{AD}{AC}$，
由此得AC²=AB•AD，
因為OB=2，AD=1，所以AB=4，求AC²=AB•AD=4×1=4，所以AC=2．
又AD=1，故AC=2AD，
因為AD⊥CE，所以∠ACD=30°．
故BC=CF，因為CF與圓O相切，由切割線定理得CF²=AF•BF，
所以BC²=AF•BF，
即$\frac{BC}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$．                                            …（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質，考查切割線定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．