Question

12．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側視圖是邊長為2的正三角形，正視圖是矩形，且AA₁=3，設D為AA₁的中點．
（1）作出該幾何體的直觀圖
（2）求證：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析 （1）由已知中的三視圖有兩個矩形一個三角形，可得該幾何體是一個以左視圖所示的三角形為底面的正三棱柱．
（2）連接B₁C交BC₁于E點，則E為B₁C，BC₁的中點，連接DE，利用全等三角形對應邊相等可得BD=DC₁，又由D為AA₁的中點，可得DE⊥BC₁，結合 DE⊥B₁C和線面垂直的判定定理可得DE⊥平面BB₁C₁C，再由面面垂直的判定定理，即可證得平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．

解答 解：（1）由題意可知該幾何體為直三棱柱，它的直觀圖如圖所示：
證明：（2）連接B₁C交BC₁于E點，則E為B₁C，BC₁的中點，連接DE，
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°
∴△ABD≌△DA₁C₁，
∴BD=DC₁，
∴DE⊥BC₁，
又∵B₁C∩BC₁=E，
∴DE⊥平面BB₁C₁C
又∵DE?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．

點評 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中根據(jù)已知中的三視圖判斷出幾何體的形狀，進而根據(jù)正三棱柱的幾何特征，得到其中的線面關系是解答本題的關鍵，屬于中檔題．