Question

7．設(shè)f（x）=x²+alnx，其中a∈R．曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l垂直于y軸．
（Ⅰ）確定a的值并求切線l的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，可得f′（1）=0，從而可求a的值；然后求解切線方程．
（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，然后求解函數(shù)的極值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²+alnx，其中a∈R．函數(shù)的定義域為x＞0，函數(shù)的導數(shù)為：
f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l垂直于y軸．
可得：f′（x）|_x=1=2+a=0，
解得a=-2．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x²-2lnx的定義域為（0，+∞），
當f′（x）=$2x-\frac{2}{x}$＞0，可得x＞1時，函數(shù)遞增；
當f′（x）=$2x-\frac{2}{x}$＜0，可得0＜x＜1時，函數(shù)遞減，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（0，1）．
x=1時函數(shù)取得極小值：f（1）=1²-2ln1=1．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性與極值的求法，考查分析問題解決問題的能力．