Question

19．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各個側面均是邊長為2的正方形，D為線段AC的中點．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅲ）設M為線段BC₁上任意一點，在△BC₁D內的平面區(qū)域（包括邊界）是否存在點E，使CE⊥DM，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）充分利用正三棱柱的性質得到CC₁⊥底面ABC，得到CC₁⊥BD，只要再證明BD垂直于AC即可；
（Ⅱ）連接B₁C交BC₁于O，連接OD，D為AC 中點，得到AB₁∥OD，利用線面平行的判定定理可得；
（Ⅲ）在△BC₁D內的平面區(qū)域（包括邊界）存在點E，使CE⊥DM，此時E在線段C₁D上；只要利用線面垂直的判定定理和性質定理證明．

解答 （Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各個側面均是邊長為2的正方形，
∴CC₁⊥BC，CC₁⊥AC，∴CC₁⊥底面ABC，
∵BD?底面ABC，∴CC₁⊥BD，
又底面為等邊三角形，D為線段AC的中點．
∴BD⊥AC，
又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）證明：連接B₁C交BC₁于O，連接OD，如圖
則O為B₁C的中點，
∵D是AC的中點，∴AB₁∥OD，
又OD?平面BC₁D，OD?平面BC₁D
∴直線AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅲ）在△BC₁D內的平面區(qū)域（包括邊界）存在點E，使CE⊥DM，此時E在線段C₁D上；
證明如下：過C作CE⊥C₁D交線段C₁D與E，
由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC₁A₁，
而CE?平面ACC₁A₁，所以BD⊥CE，
由CE⊥C₁D，BD∩C₁D=D，
所以CE⊥平面BC₁D，
DM?平面BC₁D，
所以CE⊥DM．

點評 本題考查了線面平行、線面垂直的判定定理和性質定理的運用證明線線垂直，熟練運用定理是關鍵．