Question

3．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），x∈R
（1）若x=π，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$夾角的余弦值；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，求f（x）的最大值與最小正周期．

Answer 1

分析 （1）將x=π代入向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式求向量夾角；
（2）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到函數(shù)解析式，然后化簡解析式為最簡形式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)解答．

解答 解：（1）x=π，則$\overrightarrow{a}$=（0，-1），$\overrightarrow$=（-1，-1），所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（-1，-2），
向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$夾角的余弦值為：$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sin²x+sinxcosx+2cos²x=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
所以f（x）的最大值$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期$\frac{2π}{2}=π$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積公式，以及三角函數(shù)的化簡與公式．