Question

14．不等式$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$＞1-log₂x的解集為（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． （1，8）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和二次根式，求出x的范圍，再根據(jù)1-log₂x與0的關(guān)系分類分別解出它們，再求并集，即可得到解集．

解答 解：$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$＞1-log₂x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+lo{g}_{2}x≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，
解得x≥$\frac{1}{2}$，
若1-log₂x≤0，
即x≥2時(shí)，
不等式式恒成立，
若1-log₂x＞0，
即$\frac{1}{2}$≤x＜2
對(duì)于$\sqrt{1+lo{g}_{2}x}$＞1-log₂x，兩邊平方，得，
1+log₂x＞1-2log₂x+log₂²x，
即3log₂x+log₂²x＜0，
即log₂x（log₂x-3）＜0，
∴0＜log₂x＜3，
∴l(xiāng)og₂1＜log₂x＜log₂8，
∴1＜x＜8，
∴1＜x＜2，
綜上所述x＞1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題