Question

4．圓C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{3}{4}π）$，極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的非負半軸重合，且長度單位相同，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求C的直角坐標方程及圓心的極坐標
（2）l與C交于A，B兩點，求|AB|

Answer 1

分析 （1）由兩角和與差的余弦函數(shù)及ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出C的直角坐標方程和圓心的直角坐標，由此能求出圓心的極坐標．
（2）先求出直線l的直角坐標方程和圓心C（-1，-1）到直線l的距離d，由此利用勾股定理能求出|AB|．

解答 解：（1）∵圓C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{3}{4}π）$
∴ρ=$2\sqrt{2}（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ）$=-2cosθ-2sinθ，
∴ρ²=-2ρcosθ-2ρsinθ，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到C的直角坐標方程為x²+y²=-2x-2y，即（x+1）²+（y+1）²=2
∵圓心（-1，-1），
∴$ρ=\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，θ=$\frac{5π}{4}$，∴圓心的極坐標為$（\sqrt{2}，\frac{5π}{4}）$
（2）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)得到直線l的直角坐標方程為x+y+1=0，
圓心C（-1，-1）到直線l的距離：d=$\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，r=$\sqrt{2}$，l與C交于A，B兩點，
∴$|{AB}|=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$．

點評 本題考圓的直角坐標方程和圓心的極坐標的求法，考查直線與圓相交的相交弦的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)、極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化公式的合理運用．