Question

12．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，關(guān)于x的方程x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1=0有唯一解，設(shè)b_n=na_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，則S₉=（　　）

• A． 8143
• B． 8152
• C． 8146
• D． 8149

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1，則f（x）是偶函數(shù)，且f（0）=0是其唯一解，從而a_n+1=2a_n+1，進而${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$，由此b_n=na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，利用分組求和法和錯位相減法求出${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{n（n+1）}{2}$，由此能求出S₉．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中a₁=1，關(guān)于x的方程x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1=0有唯一解，
∴設(shè)f（x）=x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1，
則f（x）是偶函數(shù)，
由題意得f（x）=0有唯一解，
∴f（0）=0是其唯一解，
∴0²-a_n+1•tan1+（2a_n+1）•tan1=0
a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$，
∴b_n=na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）
=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹-n（n+1），②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{n（n+1）}{2}$．
∴S₉=8×2¹⁰+2-45=8149．
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的前9項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、分組求和法和錯位相減法的合理運用．