Question

13．已知五邊形ABECD有一個直角梯形ABCD與一個等邊三角形BCE構成，如圖1所示，AB⊥BC，且AB=2BC=2CD，將梯形ABCD沿著BC折起，形成如圖2所示的幾何體，且AB⊥平面BEC．
（1）求證：平面ABE⊥平面ADE；
（2）求二面角A-DE-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）延長AD，BC相交于F，連接EF，證明EF⊥面ABE，即可證明平面ABE⊥平面ADE；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，即可求二面角A-DE-B的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵直角梯形ABCD中AB=2CD，
∴延長AD，BC相交于F，
則CF=BC，
連接EF，
∵三角形BCE為等邊三角形，∴△BEF是直角三角形，
則BE⊥EF，
∵AB⊥平面BEC．EF?平面BEC．
∴AB⊥EF．
∵BE∩AB=B，
∴EF⊥面ABE，
∵EF?面ADF，
∴平面ABE⊥平面ADE；
（2）由（1）知EF⊥面ABE，
則EF⊥AE，
則∠AEB是二面角A-DE-B的平面角，
∵BC=CD=BE，AB=2CE
∴設CD=1，則BE=1，AB=2，AE=$\sqrt{5}$，
則cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即二面角A-DE-B的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的證明以及二面角的求解，根據(jù)面面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關鍵．