Question

1．已知過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若對(duì)橢圓C右焦點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)D、E，且橢圓C上樣在一點(diǎn)G，使得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求四邊形ODGE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系，求出a，b的值即可求橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)求出D、E的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$求出G的坐標(biāo)，代入橢圓即可求出直線斜率和方程，利用點(diǎn)到直線的距離以及弦長(zhǎng)公式即可求四邊形ODGE的面積．

解答 解：（1）∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，
∴b=c，即a=$\sqrt{2}$b，
即$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即b²=$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²，
∵點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，
∴b²=$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{2}$+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，
則a²=2b²=2，
即橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）∵b=c=1，∴橢圓C右焦點(diǎn)F（1，0），
的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)D、E，且橢圓C上樣在一點(diǎn)G，使得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
設(shè)x=ky+1，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1得$\frac{（ky+1）^{2}}{2}$+y²=1
即（k²+2）y²+2ky-1=0，
則y₁=$\frac{-k+\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，y₂=$\frac{-k-\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，
則x₁=ky₁+1=$\frac{2+k\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，
x₂=ky₂+1=$\frac{2-k\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，
則x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}+2}$，y₁+y₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$，
設(shè)G（x，y），
則由$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$得$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\frac{4}{{k}^{2}+2}$，$\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$），
G在橢圓上，代入橢圓得則$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{{k}^{2}+2}$）²+（$\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$）²=1，
即$\frac{4（{k}^{2}+2）}{（{k}^{2}+2）^{2}}=1$，即$\frac{4}{{k}^{2}+2}$=1，即k²+2=4，即k²=2，得k=$\sqrt{2}$（舍掉-$\sqrt{2}$）．
在直線方程為x=$\sqrt{2}$y+1，
原點(diǎn)到直線x-$\sqrt{2}$y-1=0的距離d=$\frac{|1|}{\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
而DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，則四邊形ODGE的面積S=2×$\frac{1}{2}×$$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法求出直線方程是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度比較大．