Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為1，它的兩個相鄰對稱軸間的距離是2π，
（1）求y=lgf（x）的遞減區(qū)間．
（2）將f（x）的圖象橫坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

倍，再向右平移

5π

6

個單位；縱坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

倍，得到函數(shù)y=g（x）．求：函數(shù)y=g（x）的解析式和方程g（x）=

x

10

的根的個數(shù)．（不需要過程，只要結(jié)論）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求出ω，由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）求得φ，可得函數(shù)的解析式，可得y=lgf（x）=lg2cos(

x

2

+

π

3

)．令2kπ≤

x

2

+

π

3

＜2kπ+

π

2

，求得x的范圍，可得y=lgf（x）的遞減區(qū)間．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得到函數(shù)y=g（x）=sinx的圖象．方程sinx=

x

10

根的個數(shù)，即函數(shù)y=sinx 的圖象和函數(shù)y=

x

10

的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可得周期為4π=

2π

ω

，求得ω=

1

2

．
再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），可得2cosφ=1，求得cosφ=

1

2

，再結(jié)合|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

3

，
故 f(x)=2cos(

x

2

+

π

3

)，y=lgf（x）=lg2cos(

x

2

+

π

3

)．
令2kπ≤

x

2

+

π

3

＜2kπ+

π

2

，求得4kπ-

2π

3

≤x＜4kπ+

π

3

，（k∈Z），
故y=lgf（x）的遞減區(qū)間為(4kπ-

2π

3

，4kπ+

π

3

)，（k∈Z）．
（2）將f（x）的圖象橫坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

倍，可得函數(shù)y=2cos（x+

π

3

）的圖象；
再向右平移

5π

6

個單位，可得函數(shù)y=2cos（x-

5π

6

+

π

3

）=2sinx的圖象；
再把縱坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

倍，得到函數(shù)y=g（x）=sinx的圖象．
方程sinx=

x

10

根的個數(shù)，即函數(shù)y=sinx 的圖象和函數(shù)y=

x

10

的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，
數(shù)形結(jié)合可得方程sinx=

x

10

根的個數(shù)為7個．

點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．