Question

11．由動點(diǎn)P引圓O：x²+y²=4的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A、B，若∠APB=90°．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線l：mx-y+1=0與圓O的交點(diǎn)為M、N，求MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）直接由圓與切線的平面幾何性質(zhì)求得動點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為定值$2\sqrt{2}$，則點(diǎn)P的軌跡方程可求；
（2）設(shè)出M、N、Q的坐標(biāo)，把M、N的坐標(biāo)代入圓的方程，利用點(diǎn)差法得到MN所在直線的斜率，再由弦中點(diǎn)及直線所過定點(diǎn)求斜率，由斜率相等得答案．

解答 解：（1）由圓與切線的平面幾何性質(zhì)知，∠APO=45°，
∵OA⊥AP，∴OP=$\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$，
故P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以$2\sqrt{2}$為半徑的圓，方程為x²+y²=8；
（2）直線l：mx-y+1=0過定點(diǎn)（0，1），
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），Q（x，y），
則${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=4$  ①，
${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=4$  ②，
①-②得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{x}{y}$（x₁≠x₂），
即$\frac{y-1}{x-0}=-\frac{x}{y}$（x，y≠0），
整理得：${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$（x，y≠0）．
驗(yàn)證點(diǎn)（0，0）（0，1）滿足題意，
∴MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程為${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”，涉及弦中點(diǎn)問題，常采用此法，屬中檔題．