Question

14．自貢某工廠于2016年下半年對生產(chǎn)工藝進行了改造（每半年為一個生產(chǎn)周期），從2016年一年的產(chǎn)品中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示（如圖）．已知每個生產(chǎn)周期內(nèi)與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(nèi)（含±5）的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，與中位數(shù)誤差在±15范圍內(nèi)（含±15）的產(chǎn)品為合格品（不包括優(yōu)質(zhì)品），與中位數(shù)誤差超過±15的產(chǎn)品為次品．企業(yè)生產(chǎn)一件優(yōu)質(zhì)品可獲利潤20元，生產(chǎn)一件合格品可獲利潤10元，生產(chǎn)一件次品要虧損10元
（Ⅰ）求該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為10的概率；
（Ⅱ）是否有95%的把握認為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定上、下半年的數(shù)據(jù)，可得“中位數(shù)”，優(yōu)質(zhì)品，合格品，次品的個數(shù)，可得該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為10的概率；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，即可得出是否有95%的把握認為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．

解答 解：（Ⅰ）上半年的中位數(shù)是35，優(yōu)質(zhì)品有6個，合格品有10個，次品有9個；下半年的“中位數(shù)”為33，優(yōu)質(zhì)品有10個，合格品有10個，次品有5個，
∴該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為10的概率為$\frac{20}{50}$=0.4；
（Ⅱ）由題意得：

	上半年	下半年	合計
優(yōu)質(zhì)品	6	10	16
非優(yōu)質(zhì)品	19	15	34
	25	25	50

K²=$\frac{50（6×15-19×10）^{2}}{25×25×16×34}$=1.47
由于1.47＜3.841所以沒有95%的把握認為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．

點評 本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗的運用，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．