Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ．
（ I）求直角坐標(biāo)下圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點P（l，2），設(shè)圓C與直線l交于點A，B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）圓C的方程為ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，配方可得標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：t²-7=0，解得t₁，t₂．利用|PA|+|PB|=|t₁-t₂|，即可得出．

解答 解：（I）圓C的方程為ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=6y，配方為x²+（y-3）²=9．
（II）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：t²-7=0，解得t₁=$\sqrt{7}$，t₂=-$\sqrt{7}$．
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．