Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（1，-2）．
（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）若平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=3$\sqrt{5}$．求△AMN的面積．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程求出p即可得到拋物線方程．然后求解準(zhǔn)線方程．
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及弦長公式求出t，求出點(diǎn)到直線的距離，然后求解三角形面積．

解答 （10分）解：（1）將（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p•1，所以p=2．
故拋物線方程為y²=4x，準(zhǔn)線為x=-1．…（3分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²+2y-2t=0．∴y₁+y₂=-2，y₁y₂=-2t，…（5分）．
∵直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，∴△=4+8t≥0，解得t≥-$\frac{1}{2}$．
由|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}\sqrt{4+8t}$=3$\sqrt{5}$得t=4，…（8分）
又A到直線l的距離為d=$\frac{4}{{\sqrt{5}}}$…（9分）
∴△AMN的面積為S=$\frac{1}{2}$|MN|﹒d=6．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．