1.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,an+1-an=2n(n∈N*),數(shù)列bn=$\frac{{{{log}_2}(1+{a_n})}}{{1+{a_n}}}(n∈{N^*}$),Tn=b1+b2+…+bn,則T10的值為(  )
A.$\frac{245}{128}$B.$\frac{509}{256}$C.$\frac{1003}{512}$D.$\frac{2013}{1024}$

分析 利用累加法先求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和即可.

解答 解:∵a1=1,an+1-an=2n(n∈N*),
∴a2-a1=2,
a3-a2=22
a4-a3=23,

an-an-1=2n-1,
等式兩邊同時(shí)相加得:
an-a1=2+22+23+…2n-1
即an=a1+2+22+23+…2n-1=1+2+22+23+…2n-1=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2n-1,
bn=$\frac{{{{log}_2}(1+{a_n})}}{{1+{a_n}}}(n∈{N^*}$)=$\frac{lo{g}_{2}(1+{2}^{n}-1)}{1+{2}^{n}-1}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
則Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,①
則$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,②
①-②得
$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-($\frac{1}{2}$)n-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
則Tn=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$.
則T10=2-$\frac{12}{{2}^{10}}$=2-$\frac{3}{{2}^{8}}$=2-$\frac{3}{256}$=$\frac{509}{256}$.
故選:B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解,利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.

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A.[$\frac{\sqrt{6}}{2}$,2]B.[$\frac{\sqrt{6}}{2}$,$\sqrt{3}$]C.($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$]D.(1,$\frac{\sqrt{6}}{2}$)∪[$\sqrt{3}$,+∞)

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A.y=$\sqrt{2}$x+2B.y=-$\sqrt{2}$x+2C.y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x-2D.y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2

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