Question

8．在△ABC中，∠A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，面積為S．
（1）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$≤2$\sqrt{3}$S，求A的取值范圍；
（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．

Answer 1

分析 （1）已知不等式左邊利用平面向量的數(shù)量積運算法則變形，右邊利用三角形面積公式化簡，整理求出tanA的范圍，即可確定出A的范圍；
（2）由已知的比例式，設一份為x，表示出tanA，tanB，tanC，由A=π-（B+C），利用誘導公式得到tanA=-tan（B+C），再利用兩角和與差的正切函數(shù)公式將等式右邊進行變形，將表示出tanA，tanB，tanC代入，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為tanA的值，確定出tanB與tanC的值，進而求出sinB與sinC的值，由c的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cbcosA，S=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴cbcosA≤$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$bcsinA，
若A為鈍角或直角，顯然成立；
若A為銳角，即tanA≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A為三角形內角，
∴$\frac{π}{6}$≤A＜π；
（2）由tanA：tanB：tanC=1：2：3，設tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，
∴tanA=tan[π-（B+C）]=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{5x}{1-6{x}^{2}}$=x，
整理得：x²=1，解得：x=1或x=-1，
∴tanA=1或tanA=-1（不合題意，舍去），
∴tanA=1，tanB=2，tanC=3，三個角為銳角，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+{3}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵c=1，
∴由正弦定理$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{1×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握定理及運算法則是解本題的關鍵．