Question

2．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-3sin²x-cos²x+3．
（1）當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{sin（2A+C）}{sinA}$=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．
（2）由條件利用正弦定理求得c=2a，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，再利用正弦定理求得sinC=1，可得C=$\frac{π}{2}$，從而求得B的值，可得f（B）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-3sin²x-cos²x+3=$\sqrt{3}$sin2x-3•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$+3
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，∵x∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈（0，3]．
（2）∵$\frac{sin（2A+C）}{sinA}$=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴-sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，
又由$\frac{a}$=$\sqrt{3}$可得b=$\sqrt{3}$a，由余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{3a}^{2}{+4a}^{2}{-a}^{2}}{2•\sqrt{3}a•2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的內(nèi)角和可得B=60°，
∴f（B）=f（60°）=2．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．