Question

11．如圖，在長為10千米的河流OC的一側(cè)有一條觀光帶，觀光帶的前一部分為曲線段OAB，設(shè)曲線段OAB為函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（單位：千米）的圖象，且圖象的最高點為A（4，4）；觀光帶的后一部分為線段BC．
（1）求函數(shù)為曲線段OABC的函數(shù)y=f（x），x∈[0，10]的解析式；
（2）若計劃在河流OC和觀光帶OABC之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶MNPQ，綠化帶由線段MQ，QP，PN構(gòu)成，其中點P在線段BC上．當(dāng)OM長為多少時，綠化帶的總長度最長？

Answer 1

分析 （1）曲線段OAB過點O，且最高點為A（4，4），可得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 16a+4b+c=4\\-\frac{2a}=4\end{array}\right.$，求出a，b，c，可得x∈[0，6]時的解析式；后一部分為線段BC，B（6，3），C（10，0），可得x∈[6，10]時的解析式；
（2）求出綠化帶的總長度，可得二次函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）因為曲線段OAB過點O，且最高點為A（4，4），
所以$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 16a+4b+c=4\\-\frac{2a}=4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=2\\ c=0\end{array}\right.$
所以，當(dāng)x∈[0，6]時，$y=-\frac{1}{4}{x^2}+2x$…（3分）
因為后一部分為線段BC，B（6，3），C（10，0），當(dāng)x∈[6，10]時，$y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$…（6分）
綜上，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}{x^2}+2x，x∈[0，6]\\-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}，x∈（6，10]\end{array}\right.$…（8分）
（2）設(shè)OM=t（0＜t≤2），則$MQ=-\frac{1}{4}{t^2}+2t，PN=-\frac{1}{4}{t^2}+2t$
由$PN=-\frac{1}{4}{t^2}+2t=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$，得$x=\frac{1}{3}{t^2}-\frac{8}{3}t+10$，
所以點$N（\frac{1}{3}{t^2}-\frac{8}{3}t+10，0）$        …（11分）
所以，綠化帶的總長度y=MQ+QP+PN=$2（-\frac{1}{4}{t^2}+2t）+（\frac{1}{3}{t^2}-\frac{11}{3}t+10）=-\frac{1}{6}{t^2}+\frac{1}{3}t+10$…（13分）
當(dāng)t=1時，${y_{max}}=\frac{61}{6}$
所以，當(dāng)OM長為1千米時，綠化帶的總長度最長    …（16分）

點評 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查學(xué)生利益數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．