Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知點M的極坐標(biāo)為（$\sqrt{10}$，$\frac{π}{4}$），圓C的極坐標(biāo)方程ρ=asinθ，且點M在圓C上，直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)），
（Ⅰ）求a的值及圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （I）由點M在圓C上，代入圓的方程可得$\sqrt{10}$=asin$\frac{π}{4}$，解得a．可得圓C的極坐標(biāo)方程，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（II）點P的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{5}$），在直線l上．把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（I）∵點M的極坐標(biāo)為（$\sqrt{10}$，$\frac{π}{4}$），圓C的極坐標(biāo)方程ρ=asinθ，且點M在圓C上，
∴$\sqrt{10}$=asin$\frac{π}{4}$，解得a=2$\sqrt{5}$．
∴圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2$\sqrt{5}$y．
（II）點P的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{5}$），在直線l上．
把直線l的參數(shù)方程 $\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)），代入圓的方程：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，
∴t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．