【題目】如圖,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=

∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.

(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面EAB?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意及圖形取AB的中點(diǎn)F,AC的中點(diǎn)M,得到四邊形EMCD為矩形,利用線面平行的判定定理證得線面平行;

(Ⅱ)由題意利用二面角的定義得到二面角的平面角,然后在三角形中解出即可.

試題解析:

(1)線段BC的中點(diǎn)就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P.

證明如下:

取AB的中點(diǎn)F,連接DP,PF,EF,

則FP∥AC,F(xiàn)P=AC,

取AC的中點(diǎn)M,連接EM,EC,

因?yàn)锳E=AC且∠EAC=60°,

所以△EAC是正三角形,所以EM⊥AC.

所以四邊形EMCD為矩形,

所以ED=MC=AC.

又因?yàn)镋D∥AC,

所以ED∥FP且ED=FP,

所以四邊形EFPD是平行四邊形,所以DP∥EF,

而EF平面EAB,DP平面EAB,

所以DP∥平面EAB.

(2)過(guò)C作CG∥AB,過(guò)B作BG∥AC,CG∩BG=G,連接GD.

因?yàn)镋D∥AC,所以ED∥BG,

所以B,E,D,G四點(diǎn)共面,

所以平面EBD與平面ABC相交于BG,

因?yàn)镃D⊥AC,平面ACDE⊥平面ABGC,

所以CD⊥平面ABGC,

又因?yàn)锽G平面ABGC,

所以BG⊥CD,

又BG⊥GC,CD∩GC=C,

所以BG⊥平面CDG,

所以BG⊥DG,

所以∠DGC是平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ,設(shè)AB=AC=AE=a,

則GC=AB=a,DC=EM=a,

所以GD==a,

所以cosθ=cosDGC==.

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