Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2) .

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得， ，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)原問題等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)存在零點(diǎn)的充要條件可得：當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.

試題解析：

（1）依題意，得， .

令，即，解得；

令，即，解得，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題得， .

依題意，方程有實(shí)數(shù)根，

即函數(shù)存在零點(diǎn)，

又，

令，得.

當(dāng)時(shí)， ，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

而， ，

所以函數(shù)存在零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ， 隨的變化情況如表：

		極小值

所以為函數(shù)的極小值，也是最小值.

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，注意到， ，

所以函數(shù)存在零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.