Question

10．如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=$\frac{π}{4}$，∠DAB=$\frac{π}{3}$．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點．根據(jù)圖乙解答下列各題：
（1）求點D到平面ABC的距離；
（2）如圖：若∠DOB的平分線交弧$\widehat{BD}$于一點G，試判斷FG是否與平面ACD平行？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出DE⊥AO，DE⊥面ABC，從而DE即為點D到ABC的距離，由此能求出點D到面ABC的距離．
（2）連結(jié)OF，則FO∥AC，從而FO∥面ACD，令OG交DB于M，連結(jié)MF，則MF∥CD，由此能推導(dǎo)出FG∥面ACD．

解答 解：（1）△ADO中，AO=DO，且$∠OAD=\frac{π}{3}$，∴AO=DO=AD．
又E是AO的中點，∴DE⊥AO．又∵面ABC⊥面AOD，
且ABC∩面AOD=AO，DE?面AOD，
∴DE⊥面ABC．∴DE即為點D到ABC的距離．
又DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴點D到面ABC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（5分）
（2）FG∥面ACD．理由如下：
連結(jié)OF，則△ABC中，F(xiàn)、O分別為BC、AB的中點．∴FO∥AC．
又∵FO?面ACD，AC?面ACD，∴FO∥面ACD，
∵OG是∠DOB的平分線，且OD=OB，令OG交DB于M，
則M是BD的中點，連結(jié)MF，則MF∥CD，
又∵MF?面ACD，CD?面ACD，∴MF∥面ACD，
且MF∩FO=F，MF、FO?面FOG．∴面FOG∥面ACD．
又FG?面FOG，∴FG∥面ACD． （10分）

點評 本題考查點到平面的距離的求法，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．