Question

15．如圖所示，兩個圓相內(nèi)切于點T，公切線為TN，外圓的弦TC，TD分別交內(nèi)圓于A、B兩點，并且外圓的弦CD恰切內(nèi)圓于點M．
（Ⅰ）證明：AB∥CD；
（Ⅱ）證明：AC•MD=BD•CM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明∠TCD=∠TAB，即可證明AB∥CD；
（Ⅱ）證明：∠MTD=∠ATM，利用正弦定理證明$\frac{MD}{MC}=\frac{TD}{TC}$，由AB∥CD知$\frac{TD}{TC}=\frac{BD}{AC}$，即可證明AC•MD=BD•CM．

解答 （Ⅰ）由弦切角定理可知，∠NTB=∠TAB，…（3分）
同理，∠NTB=∠TCD，所以，∠TCD=∠TAB，
所以，AB∥CD．…（5分）
（Ⅱ）連接TM、AM，
因為CD是切內(nèi)圓于點M，
所以由弦切角定理知，∠CMA=∠ATM，
又由（Ⅰ）知AB∥CD，
所以，∠CMA=∠MAB，又∠MTD=∠MAB，
所以∠MTD=∠ATM．…（8分）
在△MTD中，由正弦定理知，$\frac{MD}{sin∠DTM}=\frac{TD}{sin∠TMD}$，
在△MTC中，由正弦定理知，$\frac{MC}{sin∠ATM}=\frac{TC}{sin∠TMC}$，因∠TMC=π-∠TMD，
所以$\frac{MD}{MC}=\frac{TD}{TC}$，由AB∥CD知$\frac{TD}{TC}=\frac{BD}{AC}$，
所以$\frac{MD}{MC}=\frac{BD}{AC}$，即，AC•MD=BD•CM．…（10分）

點評 本題考查正弦定理，弦切角定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．