Question

18．已知數(shù)列{a_n}，a₁=3，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，n∈N₊，求a_n．

Answer 1

分析 通過(guò)將等式a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$兩邊同時(shí)減1可知a_n+1-1=$\frac{{a}_{n}-1}{2-{a}_{n}}$，再對(duì)其兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-1，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)、-1為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，n∈N₊，
∴a_n+1-1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$-1=$\frac{{a}_{n}-1}{2-{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{2-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)、-1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$-（n-1）=$\frac{3-2n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{3-2n}$+1=$\frac{-2n+5}{-2n+3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．