Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集為空集，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x＜-1}\\{x+3，-1≤x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，分類討論求得不等式f（x）＞5的解集．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=2，結(jié)合題意求得a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x＜-1}\\{x+3，-1≤x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-1時(shí)，由-3x-1＞5，求得x＜-2．
顯然，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，不等式f（x）＞5無解，
當(dāng)x＞1時(shí)，由3x+1＞5，求得x＞$\frac{4}{3}$．
綜上可得，不等式的解集為{x|x＜-2或x＞$\frac{4}{3}$ }．
（2）由（1）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x＜-1}\\{x+3，-1≤x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=2，
故當(dāng)a≤2時(shí)，不等式f（x）＜a（a∈R）的解集為空集．

點(diǎn)評 本題主要考查隊(duì)友絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．