Question

18．函數(shù)y=x⁴-8x²+2在[-1，3]上的最大值為11．

Answer 1

分析 解法一：令t=x²，則t∈[0，9]，y=t²-8t+2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得當(dāng)t=9時(shí)，函數(shù)的最大值為：11
解法二：由y=x⁴-8x²+2可得y′=4x（x²-16），據(jù)此分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)的最大值為：11

解答 解法一：令t=x²，則t∈[0，9]，y=t²-8t+2，
∵y=t²-8t+2的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)x=4為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，
故當(dāng)t=9時(shí)，函數(shù)的最大值為：11
解法二：∵y=x⁴-8x²+2，
∴y′=4x（x²-16），
令y′=0，則x=0，或x=±2，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，y′＞0函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，y′＜0函數(shù)為減函數(shù)，
x∈（2，3]時(shí)，y′＞0函數(shù)為增函數(shù)，
由f（0）=2，f（3）=11，
可得當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)的最大值為：11
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，利用換元法將高次函數(shù)轉(zhuǎn)化為低次函數(shù)容易理解和接受，但導(dǎo)數(shù)法更具有普便性．