Question

11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，且AB=4，SA=3．
（1）求證：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分別為線段BC、SB上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，求$\frac{SF}{FB}$的值．

Answer 1

分析 （1）通過平面SAB內(nèi)的直線BC垂直平面SAB，利用平面與平面垂直的判定定理證明：平面SBC⊥平面SAB．
（2）推導(dǎo)出AF⊥EF，BC⊥AF，AF⊥BS，分別求出SF，F(xiàn)B，由此能求出$\frac{SF}{FB}$．

解答 證明：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，
∵底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，∴BC⊥AB，
∵SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，
∵BC?平面SAB，∴平面SBC⊥平面SAB．
解：（2）∵∠AFE=90°，∴AF⊥EF，
由（1）可知，BC⊥平面SAB，
∵AF?平面SAB，∴BC⊥AF，
∵EF∩BC=E，EF?平面SBC，∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥BS，
在Rt△SAB中，AB=4，SA=3，∴BS=5，∴SF=$\frac{S{A}^{2}}{BS}$=$\frac{9}{5}$，
∴FB=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴$\frac{SF}{FB}$=$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，邏輯推理能力，分析問題解決問題的能力．