Question

5．平面直角坐標系xOy中，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的長軸長為2$\sqrt{2}$，拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點F是橢圓C₁的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）過點F作直線l交拋物線C₂于A，B兩點，射線OA，OB與橢圓C₁的交點分別為C，D，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2$\sqrt{6}$$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：2a=2$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，解出即可得出橢圓C₁的方程．利用$\frac{p}{2}$=c，解得p，即可得出拋物線C₂的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為：x=my+1，A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得：y²-my-4=0，利用斜率計算公式可得k_OA，進而定點直線OA的方程，與橢圓方程聯(lián)立可得$（\frac{{y}_{1}^{2}}{16}+2）{y}^{2}$=2，進而得到${y}_{3}^{2}$，${y}_{4}^{2}$，利用向量數(shù)量積運算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2$\sqrt{6}$$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，及其根與系數(shù)的關(guān)系解出m，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：2a=2$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
又F（1，0），∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴拋物線C₂的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設直線l的方程為：x=my+1，A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
△=16m²+16＞0，
∴k_OA=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}}$，∴直線OA的方程為：x=$\frac{{y}_{1}}{4}$y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4x={y}_{1}y}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得$（\frac{{y}_{1}^{2}}{16}+2）{y}^{2}$=2，${y}_{3}^{2}$=$\frac{32}{{y}_{1}^{2}+32}$，同理${y}_{4}^{2}$=$\frac{32}{{y}_{2}^{2}+32}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$×$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$+y₁y₂=-3，
$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₃x₄+y₃y₄=$\frac{{y}_{1}}{4}{y}_{3}•\frac{{y}_{2}}{4}{y}_{4}$+y₃y₄=$\frac{3}{4}$y₃y₄，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2$\sqrt{6}$$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，∴y₃y₄=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴${y}_{3}^{2}{y}_{4}^{2}$=$\frac{32}{{y}_{1}^{2}+32}$•$\frac{32}{{y}_{2}^{2}+32}$=$\frac{3{2}^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}+32（{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}）+3{2}^{2}}$=$\frac{64}{32{m}^{2}+81}$=$（-\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}$，
∴m²=$\frac{15}{32}$，∴m=$±\frac{\sqrt{30}}{8}$，∴直線l的方程為：x=±$\frac{\sqrt{30}}{8}$y+1．

點評 本題考查了拋物線與橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．