Question

16．橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的長軸為A₁A₂，短軸為B₁B₂，將坐標平面沿y軸折成一個二面角，使A₁點在平面B₁A₂B₂上的射影恰好是該橢圓的右焦點，則此二面角的大小為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 由已知中橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的長軸為A₁A₂，短軸為B₁B₂，將坐標平面沿y軸折成一個二面角，使點A₁在平面B₁A₂B₂上的射影恰是該橢圓的一個焦點，可以畫出滿足條件的圖象，利用圖象的直觀性，分析出∠FOA₁即為所求二面角的平面角，解三角形FOA₁即可求出二面角的大�。�

解答 解：由題意畫出滿足條件的圖象如下圖所示：

由圖可得∠FOA₁即為所求二面角的平面角，
∵橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
則OA₁=2，OF=$\sqrt{4-3}=1$，
由題意可知，△A₁FO是以∠A₁FO為直角的直角三角形，
∴cos∠FOA₁=$\frac{OF}{O{A}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴∠FOA₁=60°．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中根據(jù)已知條件畫出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象分析出滿足條件的二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．