Question

5．設(shè)函數(shù)y=f（x），若對(duì)?ε＞0，?x₀，使得當(dāng)x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）具有性質(zhì)P．下列具有性質(zhì)P的函數(shù)是（　　）

• A． y=2x
• B． y=2x+$\frac{1}{x}$
• C． y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$
• D． y=2^x

Answer 1

分析 利用新定義，分別進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于A，|f（x）-x|=|x|值域是[0，+∞），故對(duì)?ε＞0，?x₀，使得當(dāng)x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
對(duì)于B，|f（x）-x|=|x+$\frac{1}{x}$|值域是[2，+∞），故對(duì)?ε＞0，?x₀，使得當(dāng)x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
對(duì)于C，y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$表示雙曲線(xiàn)在x軸上方的部分，包括與x軸的交點(diǎn)，其漸近線(xiàn)為y=x，故對(duì)?ε＞0，?x₀，使得當(dāng)x＞x₀，恒有|f（x）-x|＜ε成立；
對(duì)于D，函數(shù)y=|2^x-x|圖象如圖所示，函數(shù)有最小值y₀，
值域是（y₀，+∞），故對(duì)?ε＞0，?x₀，使得當(dāng)x＞x₀，
恒有|f（x）-x|＜ε不成立；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．