Question

直線l經過點P（2，1）傾斜角為α，它與橢圓

x2

2

+y²=1相交于A、B兩點，求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）橢圓

x2

2

+y²=1，直線的參數方程為x=2+tcosα，y=1+tsinα，整理得（cos²α+2sin²α）t²+（4sinα+4cosα）t+4=0利用根和系數的關系得|PA||PB|=t₁•t₂=

4

(cos2α+2sin2α)

=

4

1+sin2α

，

解答： 解：直線l經過點P（2，1），傾斜角為α，
可設直線的參數方程為x=2+tcosα，y=1+tsinα
橢圓方程化為 x²+2y²-2=0
把參數方程代入橢圓方程整理得（cos²α+2sin²α）t²+（4sinα+4cosα）t+4=0
上列關于t的方程的兩根t₁，t₂就是PA和PB
∴有根和系數的關系得
|PA||PB|=t₁•t₂=

4

(cos2α+2sin2α)

=

4

1+sin2α

∵0≤sin²α≤1
∴1≤sin²α+1≤2
∴

1

2

≤

1

1+sin2α

≤1
即

1

2

≤|PA|•|PB|≤1

點評：本題考查了直線與橢圓的位置關系，聯合直線和方程得cos²α+2sin²α）t²+（4sinα+4cosα）t+4=0，
得利用方程組的方法求解，|PA||PB|=t₁•t₂=

4

(cos2α+2sin2α)

=

4

1+sin2α

，再利用三角函數放縮求解．綜合性較大，化簡運算要仔細，認真．