Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=

1

2

，對任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）成立，則

2013

k=1

f（k）=（　�。�

• A、1
• B、0
• C、

  1

  2

• D、-1

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出f（0），f（1），f（2），…，找到相應(yīng)的規(guī)律，然后計(jì)算即可

解答： 解：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（1）=

1

2

，
令x=1，y=0，
則f（1+0）+f（1-0）=2f（1）f（0），
∴f（0）=1，
令x=y=1，
則f（1+1）+f（1-1）=2f（1）f（1），
∴f（2）=-

1

2

，
令x=2，y=1，
則f（2+1）+f（2-1）=2f（2）f（1），
∴f（3）=-1，
令x=y=2，
則f（2+2）+f（2-2）=2f（2）f（2），
∴f（4）=-

1

2

，
令x=3，y=2，
則f（3+2）+f（3-2）=2f（3）f（2），
∴f（5）=

1

2

，
令x=y=3，
則f（3+3）+f（3-3）=2f（3）f（3），
∴f（6）=1，
令x=4，y=3，
則f（4+3）+f（4-3）=2f（4）f（3），
∴f（7）=

1

2

，
令x=y=4，
則f（4+4）+f（4-4）=2f（4）f（4），
f（8）=-

1

2

，
令x=5，y=4，
則f（5+4）+f（5-4）=2f（5）f（4），
∴f（9）=-1，
通過以上可以發(fā)現(xiàn)，6個(gè)循環(huán)一次，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1=0．
∵2013÷6=335余3，
故

2013

k=1

f（k）=335×0+

1

2

-

1

2

-1=-1
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了歸納推理，屬于中檔題．