Question

17．函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的圖象的一條對稱軸是x=$\frac{π}{3}$，則直線ax+by+c=0的傾斜角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 方法一：由題意可得±$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+b•$\frac{1}{2}$，平方化簡求得$\frac{a}$ 的值，可得直線的斜率，從而求得直線的傾斜角．
方法二：由題意可得，f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），求得$\frac{a}$的值，可得直線ax+by+c=0的斜率-$\frac{a}$的值，從而求得此直線的傾斜角．

解答 解：方法一：$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+b•$\frac{1}{2}$，平方化簡可得${（\frac{a}）}^{2}$-2$\sqrt{3}$•$\frac{a}$+3=0，
求得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，可得直線ax+by+c=0的斜率為-$\frac{a}$=-$\sqrt{3}$，
故此直線的傾斜角為$\frac{2π}{3}$，
故選：C．
方法二：由題意可得，f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{2}$，求得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
可得直線ax+by+c=0的斜率為-$\frac{a}$=-$\sqrt{3}$，故此直線的傾斜角為$\frac{2π}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要f（x）=asinx+bcosx的最值±$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，函數(shù)的對稱性的性質(zhì)，直線的傾斜角和斜率，屬于基礎(chǔ)題．