Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-3|-m}$的定義域為R．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）若m的最大值為n，當正數(shù)a、b滿足$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$=n時，求7a+4b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)定義域為R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，設函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-3|，利用絕對值不等式的性質求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=4，變形7a+4b=$\frac{1}{4}$$（6a+2b+a+2b）（\frac{2}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}）$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）∵函數(shù)定義域為R，
∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，
設函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-3|，則m不大于函數(shù)g（x）的最小值，
又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值為4，∴m≤4．
（2）由（1）知n=4，
∴7a+4b=$\frac{1}{4}$$（6a+2b+a+2b）（\frac{2}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}）$=$\frac{1}{4}（5+\frac{2（3a+b）}{a+2b}+\frac{2（a+2b）}{3a+b}）$$≥\frac{1}{4}（5+2×2\sqrt{\frac{3a+b}{a+2b}•\frac{a+2b}{3a+b}}）$=$\frac{9}{4}$，
當且僅當a+2b=3a+b，即b=2a=$\frac{3}{10}$時取等號．
∴7a+4b的最小值為$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域、絕對值不等式的性質、基本不等式的性質、“乘1法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．